Теория вероятности: формулы и примеры решения задач. Как находить вероятность в математике формула


формулы и примеры решения задач :: SYL.ru

"Случайности не случайны"... Звучит так, словно сказал философ, но на деле изучать случайности удел великой науки математики. В математике случайностями занимается теория вероятности. Формулы и примеры заданий, а также основные определения этой науки будут представлены в статье.

Что такое теория вероятности?

Теория вероятности – это одна из математических дисциплин, которая изучает случайные события.

Чтобы было немного понятнее, приведем небольшой пример: если подкинуть вверх монету, она может упасть «орлом» или «решкой». Пока монета находится в воздухе, обе эти вероятности возможны. То есть вероятность возможных последствий соотносится 1:1. Если из колоды с 36-ю картами вытащить одну, тогда вероятность будет обозначаться как 1:36. Казалось бы, что здесь нечего исследовать и предугадывать, тем более при помощи математических формул. Тем не менее, если повторять определенное действие много раз, то можно выявить некую закономерность и на ее основе спрогнозировать исход событий в других условиях.

Если обобщить все вышесказанное, теория вероятности в классическом понимании изучает возможность возникновения одного из возможных событий в числовом значении.

Со страниц истории

Теория вероятности, формулы и примеры первых заданий появились еще в далеком Средневековье, когда впервые возникли попытки спрогнозировать исход карточных игр.

Изначально теория вероятности не имела ничего общего с математикой. Она обосновывалась эмпирическими фактами или свойствами события, которое можно было воспроизвести на практике. Первые работы в этой сфере как в математической дисциплине появились в XVII веке. Родоначальниками стали Блез Паскаль и Пьер Ферма. Длительное время они изучали азартные игры и увидели определенные закономерности, о которых и решили рассказать обществу.

Такую же методику изобрел Христиан Гюйгенс, хотя он не был знаком с результатами исследований Паскаля и Ферма. Понятие «теория вероятности», формулы и примеры, что считаются первыми в истории дисциплины, были введены именно им.

Немаловажное значение имеют и работы Якоба Бернулли, теоремы Лапласа и Пуассона. Они сделали теорию вероятности больше похожей на математическую дисциплину. Свой теперешний вид теория вероятностей, формулы и примеры основных заданий получили благодаря аксиомам Колмогорова. В результате всех изменений теория вероятности стала одним из математических разделов.

Базовые понятия теории вероятностей. События

Главным понятием этой дисциплины является "событие". События бывают трех видов:

  • Достоверные. Те, которые произойдут в любом случае (монета упадет).
  • Невозможные. События, что не произойдут ни при каком раскладе (монета останется висеть в воздухе).
  • Случайные. Те, что произойдут или не произойдут. На них могут повлиять разные факторы, которые предугадать очень трудно. Если говорить о монете, то случайные факторы, что могут повлиять на результат: физические характеристики монеты, ее форма, исходное положение, сила броска и т. д.

Все события в примерах обозначаются заглавными латинскими буквами, за исключением Р, которой отведена другая роль. Например:

  • А = «студенты пришли на лекцию».
  • Ā = «студенты не пришли на лекцию».

В практических заданиях события принято записывать словами.

Одна из важнейших характеристик событий - их равновозможность. То есть, если подбросить монету, все варианты исходного падения возможны, пока она не упала. Но также события бывают и не равновозможными. Это происходит, когда кто-то специально воздействует на исход. Например, «меченые» игральные карты или игральные кости, в которых смещен центр тяжести.

Еще события бывают совместимыми и несовместимыми. Совместимые события не исключают появления друг друга. Например:

  • А = «студентка пришла на лекцию».
  • В = «студент пришел на лекцию».

Эти события независимы друг от друга, и появление одного из них не влияет на появление другого. Несовместимые события определяются тем, что появление одного исключает появление другого. Если говорить о той же монете, то выпадение «решки» делает невозможным появление «орла» в этом же эксперименте.

Действия над событиями

События можно умножать и складывать, соответственно, в дисциплине вводятся логические связки «И» и «ИЛИ».

Сумма определяется тем, что может появиться или событие А, или В, или два одновременно. В случае когда они несовместимы, последний вариант невозможен, выпадет или А, или В.

Умножение событий заключается в появлении А и В одновременно.

Теперь можно привести несколько примеров, чтобы лучше запомнились основы, теория вероятности и формулы. Примеры решения задач далее.

Задание 1: Фирма принимает участие в конкурсе на получение контрактов на три разновидности работы. Возможные события, которые могут произойти:

  • А = «фирма получит первый контракт».
  • А1 = «фирма не получит первый контракт».
  • В = «фирма получит второй контракт».
  • В1 = «фирма не получит второй контракт»
  • С = «фирма получит третий контракт».
  • С1 = «фирма не получит третий контракт».

С помощью действий над событиями попробуем выразить следующие ситуации:

  • К = «фирма получит все контракты».

В математическом виде уравнение будет иметь следующий вид: К = АВС.

  • М = «фирма не получит ни одного контракта».

М = А1В1С1.

Усложняем задание: H = «фирма получит один контракт». Поскольку не известно, какой именно контракт получит фирма (первый, второй или третий), необходимо записать весь ряд возможных событий:

Н = А1ВС1υ АВ1С1 υ А1В1С.

А1ВС1 – это ряд событий, где фирма не получает первый и третий контракт, но получает второй. Соответственным методом записаны и другие возможные события. Символ υ в дисциплине обозначает связку «ИЛИ». Если перевести приведенный пример на человеческий язык, то фирма получит или третий контракт, или второй, или первый. Подобным образом можно записывать и другие условия в дисциплине «Теория вероятности». Формулы и примеры решения задач, представленные выше, помогут сделать это самостоятельно.

Собственно, вероятность

Пожалуй, в этой математической дисциплине вероятность события – это центральное понятие. Существует 3 определения вероятности:

  • классическое;
  • статистическое;
  • геометрическое.

Каждое имеет свое место в изучении вероятностей. Теория вероятности, формулы и примеры (9 класс) в основном используют классическое определение, которое звучит так:

  • Вероятность ситуации А равняется отношению числа исходов, что благоприятствуют ее появлению, к числу всех возможных исходов.

Формула выглядит так: Р(А)=m/n.

Р обозначает вероятность события А.

А – собственно, событие. Если появляется случай, противоположный А, его можно записывать как Ā или А1.

m – количество возможных благоприятных случаев.

n – все события, которые могут произойти.

Например, А = «вытащить карту червовой масти». В стандартной колоде 36 карт, 9 из них червовой масти. Соответственно, формула решения задания будет иметь вид:

Р(А)=9/36=0,25.

В итоге вероятность того, что из колоды вытянут карту червовой масти, составит 0,25.

К высшей математике

Теперь стало немного известно, что такое теория вероятности, формулы и примеры решения заданий, которые попадаются в школьной программе. Однако теория вероятностей встречается и в высшей математике, которая преподается в вузах. Чаще всего там оперируют геометрическими и статистическими определениями теории и сложными формулами.

Очень интересна теория вероятности. Формулы и примеры (высшая математика) лучше начинать изучать с малого - со статистического (или частотного) определения вероятности.

Статистический подход не противоречит классическому, а немного расширяет его. Если в первом случае нужно было определить, с какой долей вероятности произойдет событие, то в этом методе необходимо указать, как часто оно будет происходить. Здесь вводится новое понятие «относительная частота», которую можно обозначить Wn(A). Формула ничем не отличается от классической:

Wn(A)=m/n.

Если классическая формула вычисляется для прогнозирования, то статистическая – согласно результатам эксперимента. Возьмем, к примеру, небольшое задание.

Отдел технологического контроля проверяет изделия на качество. Среди 100 изделий нашли 3 некачественных. Как найти вероятность частоты качественного товара?

А = «появление качественного товара».

Wn(A)=97/100=0,97

Таким образом, частота качественного товара составляет 0,97. Откуда взяли 97? Из 100 товаров, которые проверили, 3 оказались некачественными. От 100 отнимаем 3, получаем 97, это количество качественного товара.

Немного о комбинаторике

Еще один метод теории вероятности называют комбинаторикой. Его основной принцип состоит в том, что если определенный выбор А можно осуществить m разными способами, а выбор В - n разными способами, то выбор А и В можно осуществить путем умножения.

Например, из города А в город В ведет 5 дорог. Из города В в город С ведет 4 пути. Сколькими способами можно доехать из города А в город С?

Все просто: 5х4=20, то есть двадцатью разными способами можно добраться из точки А в точку С.

Усложним задание. Сколько существует способов раскладывания карт в пасьянсе? В колоде 36 карт – это исходная точка. Чтобы узнать количество способов, нужно от исходной точки «отнимать» по одной карте и умножать.

То есть 36х35х34х33х32…х2х1= результат не вмещается на экран калькулятора, поэтому его можно просто обозначить 36!. Знак «!» возле числа указывает на то, что весь ряд чисел перемножается между собой.

В комбинаторике присутствуют такие понятия, как перестановка, размещение и сочетание. Каждое из них имеет свою формулу.

Упорядоченный набор элементов множества называют размещением. Размещения могут быть с повторениями, то есть один элемент можно использовать несколько раз. И без повторений, когда элементы не повторяются. n - это все элементы, m – элементы, которые участвуют в размещении. Формула для размещения без повторений будет иметь вид:

Anm=n!/(n-m)!

Соединения из n элементов, которые отличаются только порядком размещения, называют перестановкой. В математике это имеет вид: Рn = n!

Сочетаниями из n элементов по m называют такие соединения, в которых важно, какие это были элементы и каково их общее количество. Формула будет иметь вид:

Anm=n!/m!(n-m)!

Формула Бернулли

В теории вероятности, так же как и в каждой дисциплине, имеются труды выдающихся в своей области исследователей, которые вывели ее на новый уровень. Один из таких трудов - формула Бернулли, что позволяет определять вероятность появления определенного события при независимых условиях. Это говорит о том, что появление А в эксперименте не зависит от появления или не появления того же события в ранее проведенных или последующих испытаниях.

Уравнение Бернулли:

Pn(m)=Cnm×pm×qn-m.

Вероятность (р) появления события (А) неизменна для каждого испытания. Вероятность того, что ситуация произойдет ровно m раз в n количестве экспериментов, будет вычисляться формулой, что представлена выше. Соответственно, возникает вопрос о том, как узнать число q.

q=1-p

Если событие А наступает р количество раз, соответственно, оно может и не наступить. Единица – это число, которым принято обозначать все исходы ситуации в дисциплине. Поэтому q – число, которое обозначает возможность ненаступления события.

Теперь вам известна формула Бернулли (теория вероятности). Примеры решения задач (первый уровень) рассмотрим далее.

Задание 2: Посетитель магазина сделает покупку с вероятностью 0,2. В магазин зашли независимым образом 6 посетителей. Какова вероятность того, что посетитель сделает покупку?

Решение: Поскольку неизвестно, сколько посетителей должны сделать покупку, один или все шесть, необходимо просчитать все возможные вероятности, пользуясь формулой Бернулли.

А = «посетитель совершит покупку».

В этом случае: р = 0,2 (как указано в задании). Соответственно, q=1-0,2 = 0,8.

n = 6 (поскольку в магазине 6 посетителей). Число m будет меняться от 0 (ни один покупатель не совершит покупку) до 6 (все посетители магазина что-то приобретут). В итоге получим решение:

P6(0)=C06×p0×q6=q6=(0,8)6=0,2621.

Ни один из покупателей не совершит покупку с вероятностью 0,2621.

Как еще используется формула Бернулли (теория вероятности)? Примеры решения задач (второй уровень) далее.

После вышеприведенного примера возникают вопросы о том, куда делись С и р. Относительно р число в степени 0 будет равно единице. Что касается С, то его можно найти формулой:

Cnm=n!/m!(n-m)!

Поскольку в первом примере m = 0, соответственно, С=1, что в принципе не влияет на результат. Используя новую формулу, попробуем узнать, какова вероятность покупки товаров двумя посетителями.

P6(2)=C62×p2×q4 = (6×5×4×3×2×1)/(2×1×4×3×2×1)×(0,2)2×(0,8)4=15×0,04×0,4096=0,246.

Не так уж и сложна теория вероятности. Формула Бернулли, примеры которой представлены выше, прямое тому доказательство.

Формула Пуассона

Уравнение Пуассона используется для вычисления маловероятных случайных ситуаций.

Основная формула:

Pn(m)=λm/m!×e(-λ).

При этом λ = n х p. Вот такая несложная формула Пуассона (теория вероятности). Примеры решения задач рассмотрим далее.

Задание 3: На заводе изготовили детали в количестве 100000 штук. Появление бракованной детали = 0,0001. Какова вероятность, что в партии будет 5 бракованных деталей?

Как видим, брак - это маловероятное событие, в связи с чем для вычисления используется формула Пуассона (теория вероятности). Примеры решения задач подобного рода ничем не отличаются от других заданий дисциплины, в приведенную формулу подставляем необходимые данные:

А = «случайно выбранная деталь будет бракованной».

р = 0,0001 (согласно условию задания).

n = 100000 (количество деталей).

m = 5 (бракованные детали). Подставляем данные в формулу и получаем:

Р100000(5) = 105/5! Х е-10 = 0,0375.

Так же как и формула Бернулли (теория вероятности), примеры решений с помощью которой написаны выше, уравнение Пуассона имеет неизвестное е. По сути его можно найти формулой:

е-λ= lim n->∞(1-λ/n)n.

Однако есть специальные таблицы, в которых находятся практически все значения е.

Теорема Муавра-Лапласа

Если в схеме Бернулли количество испытаний достаточно велико, а вероятность появления события А во всех схемах одинакова, то вероятность появления события А определенное количество раз в серии испытаний можно найти формулой Лапласа:

Рn(m)= 1/√npq x ϕ(Xm).

Xm = m-np/√npq.

Чтобы лучше запомнилась формула Лапласа (теория вероятности), примеры задач в помощь ниже.

Задание 4: Рекламный агент раздает 800 листовок. Согласно статистическим исследованиям, каждая третья листовка находит своего потребителя. Какова вероятность того, что сработает ровно 267 рекламных листовок?

n = 800;

m = 267;

p = 1/3;

q = 2/3.

Сначала найдем Xm, подставляем данные (они все указаны выше) в формулу и получим 0,025. При помощи таблиц находим число ϕ(0,025), значение которого 0,3988. Теперь можно подставлять все данные в формулу:

Р800(267) = 1/√(800 х 1/3 х 2/3) х 0,3988 = 3/40 х 0,3988 = 0,03.

Таким образом, вероятность того, что рекламная листовка сработает ровно 267 раз, составляет 0,03.

Формула Байеса

Формула Байеса (теория вероятности), примеры решения заданий с помощью которой будут приведены ниже, представляет собой уравнение, которое описывает вероятность события, опираясь на обстоятельства, которые могли быть связаны с ним. Основная формула имеет следующий вид:

Р (А|B) = Р (В|А) х Р (А) / Р (В).

А и В являются определенными событиями.

Р(А|B) – условная вероятность, то есть может произойти событие А при условии, что событие В истинно.

Р (В|А) – условная вероятность события В.

Итак, заключительная часть небольшого курса «Теория вероятности» - формула Байеса, примеры решений задач с которой ниже.

Задание 5: На склад привезли телефоны от трех компаний. При этом часть телефонов, которые изготавливаются на первом заводе, составляет 25%, на втором – 60%, на третьем – 15%. Известно также, что средний процент бракованных изделий у первой фабрики составляет 2%, у второй – 4%, и у третьей – 1%. Необходимо найти вероятность того, что случайно выбранный телефон окажется бракованным.

А = «случайно взятый телефон».

В1 – телефон, который изготовила первая фабрика. Соответственно, появятся вводные В2 и В3 (для второй и третьей фабрик).

В итоге получим:

Р (В1) = 25%/100% = 0,25; Р(В2) = 0,6; Р (В3) = 0,15 – таким образом мы нашли вероятность каждого варианта.

Теперь нужно найти условные вероятности искомого события, то есть вероятность бракованной продукции в фирмах:

Р (А/В1) = 2%/100% = 0,02;

Р(А/В2) = 0,04;

Р (А/В3) = 0,01.

Теперь подставим данные в формулу Байеса и получим:

Р (А) = 0,25 х 0,2 + 0,6 х 0,4 + 0,15 х 0,01= 0,0305.

В статье представлена теория вероятности, формулы и примеры решения задач, но это только вершина айсберга обширной дисциплины. И после всего написанного логично будет задаться вопросом о том, нужна ли теория вероятности в жизни. Простому человеку сложно ответить, лучше спросить об этом у того, кто с ее помощью не единожды срывал джек-пот.

www.syl.ru

Репетитор по математике.Теория вероятности формулы и примеры решения задач

События, которые происходят реально или в нашем воображении, можно разделить на 3 группы. Это достоверные события, которые обязательно произойдут, невозможные события и случайные события. Теория вероятностей изучает случайные события, т.е. события, которые могут произойти или не произойти. В данной статье будет представлена в кратком виде теория вероятности формулы и примеры решения задач по теории вероятности, которые будут в 4 задании ЕГЭ по математике (профильный уровень).

Зачем нужна теория вероятности

Исторически потребность исследования этих проблем возникла в XVII веке в связи с развитием и профессионализацией азартных игр и появлением казино. Это было реальное явление, которое требовало своего изучения и исследования.

Игра в карты, кости, рулетку создавала ситуации, когда могло произойти любое из конечного числа равновозможных событий. Возникла необходимость дать числовые оценки возможности наступления того или иного события.

В XX веке выяснилось, что эта, казалось бы, легкомысленная наука играет важную роль в познании фундаментальных процессов, протекающих в микромире. Была создана современная теория вероятностей.

Основные понятия теории вероятности

Объектом изучения теории вероятностей являются события и их вероятности. Если событие является сложным, то его можно разбить на простые составляющие, вероятности которых найти несложно.

теория вероятности возникла как помощь в игре в кости, в казино и т.п.

Суммой событий А и В называется событие С, заключающееся в том, что произошло либо событие А, либо событие В, либо события А и В одновременно.

Произведением событий А и В называется событие С, заключающееся в том, что произошло и событие А и событие В.

События А и В называется несовместными, если они не могут произойти одновременно.

Событие А называется невозможным, если оно не может произойти. Такое событие обозначается символом \oslash.

Событие А называется достоверным, если оно обязательно произойдет. Такое событие обозначается символом \Omega.

Пусть каждому событию А поставлено в соответствие число P{А). Это число P(А) называется вероятностью события А, если при таком соответствии выполнены следующие условия.

  1. Вероятность принимает значения на отрезке от 0 до 1, т.е. 0<P(A)<1.
  2. Вероятность невозможного события равна 0, т.е. P(\oslash) = 0 .
  3. Вероятность достоверного события равна 1, т.e. P(\Omega) = 1.
  4. Если события A и В несовместные, то вероятность их суммы равна сумме их вероятностей, т.е. P(A+B) =P(A)+P(B).

Важным частным случаем является ситуация, когда имеется n равновероятных элементарных исходов, и произвольные k из этих исходов образуют события А. В этом случае вероятность можно ввести по формуле P(A) = \frac{k}{n}. Вероятность, введенная таким образом, называется классической вероятностью. Можно доказать, что в этом случае свойства 1-4 выполнены.

Задачи по теории вероятностей, которые встречаются на ЕГЭ по математике, в основном связаны с классической вероятностью. Такие задачи могут быть очень простыми. Особенно простыми являются задачи по теории вероятностей в демонстрационных вариантах. Легко вычислить число благоприятных исходов k, прямо в условии написано число всех исходов n.

Самый простой способ определения вероятности

Ответ получаем по формуле P(A) = \frac{k}{n}.

Пример задачи из ЕГЭ по математике по определению вероятности

На столе лежат 20 пирожков — 5 с капустой, 7 с яблоками и 8 с рисом. Марина хочет взять пирожок. Какова вероятность, что она возьмет пирожок с рисом?

Решение.

Всего равновероятных элементарных исходов 20, то есть Марина может взять любой из 20 пирожков. Но нам нужно оценить вероятность того, что Марина возьмет пирожок с рисом, то есть P(A), где А — это выбор пирожка с рисом. Значит у нас количество благоприятных исходов (выборов пирожков с рисом) всего 8. Тогда вероятность будет определяться по формуле:

    \[ P(A)=\frac{k}{n}=\frac{8}{20}=0,4 \]

Ответ: 0,4

Независимые, противоположные и произвольные события

Однако в открытом банке заданий стали встречаться и более сложные задания. Поэтому обратим внимание читателя и на другие вопросы, изучаемые в теории вероятностей.

События А и В называется независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошло ли другое событие.

Событие B состоит в том, что событие А не произошло, т.е. событие B является противоположным к событию А. Вероятность противоположного события равна единице минус вероятность прямого события,т.е. P(B)=1-P(A).

Теоремы сложения и умножения вероятностей, формулы

Для произвольных событий А и В вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного события, т.е. P(A+B) = P(A)+P(B)-P(AB).

Для независимых событий А и В вероятность произведения этих событий равна произведению их вероятностей, т.е. в этом случае P{AB)= P(A)\cdot P(B).

Последние 2 утверждения называются теоремами сложения и умножения вероятностей.

Не всегда подсчет числа исходов является столь простым. В ряде случаев необходимо использовать формулы комбинаторики. При этом наиболее важным является подсчет числа событий, удовлетворяющих определенным условиям. Иногда такого рода подсчеты могут становиться самостоятельными заданиями.

Сколькими способами можно усадить 6 учеников на 6 свободных мест? Первый ученик займет любое из 6 мест. Каждому из этих вариантов соответствует 5 способов занять место второму ученику. Для третьего ученика остается 4 свободных места, для четвертого — 3, для пятого — 2, шестой займет единственное оставшееся место. Чтобы найти число всех вариантов, надо найти произведение 1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6, которое обозначается символом 6! и читается «шесть факториал».

В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа перестановок из п элементов P_n=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 В нашем случае  n= 6.

Рассмотрим теперь другой случай с нашими учениками. Сколькими способами можно усадить 2 учеников на 6 свободных мест? Первый ученик займет любое из 6 мест. Каждому из этих вариантов соответствует 5 способов занять место второму ученику. Чтобы найти число всех вариантов, надо найти произведение 6 \cdot 5.

В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа размещений из n элементов по k элементам

    \[ A^{k}_{n}=n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \dots \cdot(n-k+1)= \frac{n!}{(n-k)!} \]

В нашем случае n = 6, k = 2.

И последний случай из этой серии. Сколькими способами можно выбрать трех учеников из 6? Первого ученика можно выбрать 6 способами, второго — 5 способами, третьего — четырьмя. Но среди этих вариантов 6 раз встречается одна и та же тройка учеников. Чтобы найти число всех вариантов, надо вычислить величину: \frac {6 \cdot 5 \cdot 4}{1\cdot 2 \cdot 3} = 20. В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа сочетаний из n элементов по k элементам:

    \[ C^{k}_{n}=\frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \dots (n-k+1)}{1\cdot 2 \cdot 3 \dots \cdot k}=\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}. \]

В нашем случае n=6, k=3.

Примеры решения задач из ЕГЭ по математике на определение вероятности

Задача 1. Из сборника под ред. Ященко.

На тарелке 30 пирожков: 3 с мясом, 18 с капустой и 9 с вишней. Саша наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.

Решение:

P=\frac {9}{30}=0,3.

Ответ: 0,3.

Задача 2. Из сборника под ред. Ященко.

В каждой партии из 1000 лампочек в среднем 20 бракованных. Найдите вероятность того, что наугад взятая лампочка из партии будет исправной.

Решение: Количество исправных лампочек 1000-20=980. Тогда вероятность того, что взятая наугад лампочка из партии будет исправной:

P=\frac{980}{1000}=0,98

Ответ: 0,98.

Задача 3.

Вероятность того, что на тестировании по математике учащийся У. верно решит больше 9 задач, равна 0,67. Вероятность того, что У. верно решит больше 8 задач, равна 0,73. Найдите вероятность того, что У. верно решит ровно 9 задач.

Решение:

Если мы вообразим числовую прямую и на ней отметим точки 8 и 9, то мы увидим, что условие «У. верно решит ровно 9 задач» входит в условие «У. верно решит больше 8 задач», но не относится к условию «У. верно решит больше 9 задач».

Однако, условие «У. верно решит больше 9 задач» содержится в условии «У. верно решит больше 8 задач». Таким образом, если мы обозначим события: «У. верно решит ровно 9 задач» — через А, «У. верно решит больше 8 задач» — через B, «У. верно решит больше 9 задач» через С. То решение будет выглядеть следующим образом:

P(A)=P(B)-P(C)=0,73-0,67=0,06.

Ответ: 0,06.

Задача 4.

На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос по теме «Внешние углы», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение.

Давайте подумаем какие у нас даны события. Нам даны два несовместных события. То есть либо вопрос будет относиться к теме «Тригонометрия», либо к теме «Внешние углы». По теореме вероятности вероятность несовместных событий равна сумме вероятностей каждого события, мы должны найти сумму вероятностей этих событий, то есть:

P(AB)=P(A)+ P(B)=0,2 +0,15 = 0,35

Ответ: 0,35.

Задача 5.

Помещение освещается фонарём с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,29. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Решение:

Рассмотрим возможные события. У нас есть три лампочки, каждая из которых может перегореть или не перегореть независимо от любой другой лампочки. Это независимые события.

Тогда укажем варианты таких событий. Примем обозначения: \bigcirc— лампочка горит, \otimes — лампочка перегорела. И сразу рядом подсчитаем вероятность события. Например, вероятность события, в котором произошли три независимых события «лампочка перегорела», «лампочка горит», «лампочка горит»: P=0,29 \cdot 0,71 \cdot 0,71=0,146189, где вероятность события «лампочка горит» подсчитывается как вероятность события, противоположного событию «лампочка не горит», а именно: P=1-0,29=0,71.

\otimes \otimes \otimesP=0,29 \cdot 0,29 \cdot 0,29 = 0,024389

\otimes \bigcirc \bigcircP_1=0,29 \cdot 0,71 \cdot 0,71 = 0,146189

\otimes \otimes \bigcirc  P_2=0,29 \cdot 0,29 \cdot 0,71 = 0,05971

\bigcirc \otimes \bigcirc  P_3=0,71 \cdot 0,29 \cdot 0,71 = 0,05971

\bigcirc \otimes \otimes  P_4=0,71 \cdot 0,29 \cdot 0,29 = 0,146189

\bigcirc \bigcirc \otimes  P_5=0,71 \cdot 0,71 \cdot 0,29 = 0,05971

\otimes \bigcirc \otimes  P_6=0,29 \cdot 0,71 \cdot 0,29 = 0,146189

\bigcirc \bigcirc \bigcircP_7=0,71 \cdot 0,71 \cdot 0,71=0,357911

Заметим, что благоприятных нам несовместных событий всего 7. Вероятность таких событий равна сумме вероятностей каждого из событий: P=P_1+P_2+P_3+P_4+P_5+P_6+P_7=0,146189 +0,05971+0,05971+0,146189+0,05971+0,146189+0,357911=0,975608.

Ответ: 0,975608.

Еще одну задачку вы можете посмотреть на рисунке:

решения задачи о монетах

Таким образом, мы с вами поняли, что такое теория вероятности формулы и примеры решения задач по которой вам могут встретиться в варианте ЕГЭ.

www.repetitor-mathematics.ru

Как решать задачи на вероятность?

Теория вероятности – довольно обширный самостоятельный раздел математики. В школьном курсе теория вероятности рассматривается очень поверхностно, однако в ЕГЭ и ГИА имеются задачи на данную тему. Впрочем, решать задачи школьного курса не так уж сложно (по крайней мере то, что касается арифметических операций) – здесь не нужно считать производные, брать интегралы и решать сложные тригонометрические преобразования – главное, уметь обращаться с простыми числами и дробями.

Теория вероятности – основные термины

Главные термины теории вероятности – испытание, исход и случайное событие. Испытанием в теории вероятности называют эксперимент – подбросить монету, вытянуть карту, провести жеребьевку – все это испытания. Результат испытания, как вы уже догадались, называется исходом.

А что же такое случайность события? В теории вероятности предполагается, что испытание проводится ни один раз и исходов много. Случайным событием называют множество исходов испытания. Например, если вы бросаете монету, может произойти два случайных события – выпадет орел или решка.

Не путайте понятия исход и случайное событие. Исход – это один результат одного испытания. Случайное событие – это множество возможных исходов. Существует, кстати, и такой термин, как невозможное событие. Например, событие "выпало число 8" на стандартном игровом кубике является невозможным.

Как найти вероятность?

Все мы примерно понимаем, что такое вероятность, и довольно часто используем данное слово в своем лексиконе. Кроме того, мы можем даже делать некоторые выводы относительно вероятности того или иного события, например, если за окном снег, мы с большой вероятностью можем сказать, что сейчас не лето. Однако как выразить данное предположение численно?

Для того чтобы ввести формулу для нахождения вероятности, введем еще одно понятие – благоприятные исход, т. е. исход, который является благоприятным для того или иного события. Определение довольно двусмысленное, конечно, однако по условию задачи всегда понятно, какой из исходов благоприятный.

Например: В классе 25 человек, трое из них Кати. Учитель назначает дежурной Олю, и ей нужен напарник. Какова вероятность того, что напарником станет Катя?

В данном примере благоприятный исход – напарник Катя. Чуть позже мы решим эту задачу. Но сначала введем с помощью дополнительного определения формулу для нахождения вероятности.

  • Р = А/N, где P – вероятность, A – число благоприятных исходов, N – общее количество исходов.

elhow.ru

Как найти вероятность в математике формула

Please complete the security check to access znanija.com

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Cloudflare Ray ID: 407d9afc26aa9ab2 • Your IP : 5.189.134.229 • Performance & security by Cloudflare

Вероятность — это величина, которая измеряет возможность воплощения в реальности того или иного события. Отрицательные и положительные основания вероятности позволяют определить её степень. Чем больше отрицательных оснований, тем меньше вероятность, и наоборот.

Вероятность как систему впервые описали Б. Паскаль, Я. Бернулли и П. Лаплас в семнадцатом веке. Учёные анализировали возможность исхода азартных игр и сформулировали вероятность как отношение положительных факторов к числу всех возможных в равной степени. Чтобы находить вероятность того или иного события, необходимо знать соответствующие формулы.

Быстрая навигация по статье

Классическое вычисление вероятности

Для вычисления вероятности используется классическая формула: Р(А)=m/n, где:

  • m-количество благоприятных исходов;
  • n- количество равновероятных исходов (при этом m<n).

Можно привести несколько примеров вычисления вероятности согласно данной формуле:

В коробке находится 200 карандашей красного и зелёного цвета, при этом зелёных карандашей 10 штук. Следует рассчитать вероятность того, что карандаш, вытянутый наугад, будет зелёного цвета.

Количество равновероятных исходов в этой ситуации равно 200 (то есть, n=200). Количество исходов того, что карандаш окажется зелёным равно 10 (то есть, m=10).

Расчёт: Р(А)=10/200=0,05 (согласно формуле Р(А)=m/n). Следовательно, вероятность того, что карандаш окажется зелёным, равна 5% (результат 0,05 умножается на 100, чтобы получить значение в процентах).

В мешке лежат фишки красного, чёрного и белого цвета. Красных фишек — 20 штук, чёрных — 40 штук, а белых – 60 штук. Какова вероятность того, что первой попавшейся будет фишка:

А) Красного цвета; В) Чёрного цвета; С) Белого цвета

В этом случае три возможных исхода события: фишка окажется белого, красного или чёрного цвета. Общее количество возможных равновероятных исходов равно 120. Для вычисления вероятности каждого из событий используется стандартная формула Р=m/n:

В коробке находится десять карандашей: 6 красных и 4 зелёных. Какова вероятность того, что оба вытянутых карандаша окажутся красными?

Эта задача содержит элементы комбинаторики. В данном случае существует возможность смешения элементов и число способов вытянуть два карандаша из десяти высчитывается по формуле:

Следующим шагом будет вычисление количества случаев, когда два карандаша будут красными:

Вероятность того, что оба вытянутых карандаша окажутся красными, высчитывается по классической формуле:

У системы вероятностей есть несколько основных свойств:

  • Достоверное событие имеет величину вероятности, равную единице;
  • Вероятность невозможного события равна нулю;
  • Вероятность любого события находится в числовом промежутке между нулём и единицей;
  • Согласно теории сложения вероятностей, сумма вероятности двух несовместимых событий равна вероятности суммы этих событий.

Сайт не хранит личную информацию граждан Российской Федерации (регистрация закрыта, комментарии отключены). Некоторые опубликованные на сайте материалы могут содержать информацию, предназначеную для пользователей старше 16 лет (согласно №436-ФЗ от 29.12.2010 года «О защите детей от информации причиняющей вред их здоровью и развитию»). 16+. Использование данного сайта подразумевает принятие условий пользовательского соглашения.

© Google Inc., 2016. Все права защищены. Наименование Google и логотип Google являются товарными знаками компании Google Inc.

GoogleTM, Android™, Google Maps™, Google Play™, Google Docs™, Google Picasa™, Gmail™, Google Chrome™, Google Plus™, YouTube™ и соответствующие логотипы являются товарными знаками Google, Inc. в США и других странах.

Microsoft®, Windows®, Windows XP®, Windows Vista®, Xbox®, Zune®, SharePoint®, Internet Explorer®, Hotmail®, Bing®, Office®, Word®, PowerPoint®, Excel®, Outlook® и их логотипы являются товарными знаками Microsoft Corporation в США и других странах.

Mozilla®, Mozilla Firefox® и их логотипы являются товарными знаками Mozilla Foundation в США и других странах.

Skype® и соответствующий логотип являются товарными знаками Skype в США и других странах.

Понять формулу проще всего на примерах.

Пример 1. В корзине 9 красных шаров и 3 синих. Шары различаются только цветом. Наугад (не глядя) достаём один из них. Какова вероятность того, что выбранный таким образом шар окажется синего цвета?

Комментарий. В задачах по теории вероятности происходит нечто (в данном случае наше действие по вытаскиванию шара), что может иметь разный результат - исход. Нужно заметить, что на результат можно смотреть по-разному. "Мы вытащили какой-то шар" - тоже результат. "Мы вытащили синий шар" - результат. "Мы вытащили именно вот этот шар из всех возможных шаров" - такой наименее обобщенный взгляд на результат называется элементарным исходом. Именно элементарные исходы имеются в виду в формуле для вычисления вероятности.

Решение. Теперь вычислим вероятность выбора синего шара.

Событие А: "выбранный шар оказался синего цвета"

Общее число всех возможных исходов: 9+3=12 (количество всех шаров, которые мы могли бы вытащить)

Число благоприятных для события А исходов: 3 (количество таких исходов, при которых событие А произошло, - то есть, количество синих шаров)

Посчитаем для той же задачи вероятность выбора красного шара.

Общее число возможных исходов останется тем же, 12. Число благоприятных исходов: 9. Искомая вероятность: 9/12=3/4=0,75

Вероятность любого события всегда лежит в пределах от 0 до 1.

Иногда в повседневной речи (но не в теории вероятности!) вероятность событий оценивают в процентах. Переход между математической и разговорной оценкой осуществляется путем умножения (или деления) на 100%.

Итак,

При этом вероятность равна нулю у событий, которые не могут произойти - невероятны. Например, в нашем примере это была бы вероятность вытащить из корзины зеленый шар. (Число благоприятных исходов равно 0, Р(А)=0/12=0, если считать по формуле)

Вероятность 1 имеют события, которые абсолютно точно произойдут, без вариантов. Например, вероятность того, что «выбранный шар окажется или красным или синим» - для нашей задачи. (Число благоприятных исходов: 12, Р(А)=12/12=1)

Мы рассмотрели классический пример, иллюстрирующий определение вероятности. Все подобные задачи ЕГЭ по теории вероятности решаются применением данной формулы.

На месте красных и синих шаров могут быть яблоки и груши, мальчики и девочки, выученные и невыученные билеты, билеты, содержащие и не содержащие вопрос по какой-то теме (прототипы 285926, 285927), бракованные и качественные сумки или садовые насосы (прототипы 282857, 282856) – принцип остается тем же.

Немного отличаются формулировкой задачи теории вероятности ЕГЭ, где нужно вычислить вероятность выпадения какого-то события на определенный день. (285922, 285923) Как и в предыдущих задачах нужно определить, что является элементарным исходом, после чего применить ту же формулу.

Пример 2. Конференция длится три дня. В первый и второй день выступают по 15 докладчиков, в третий день – 20. Какова вероятность того, что доклад профессора М. выпадет на третий день, если порядок докладов определяется жеребьевкой?

Что здесь является элементарным исходом? – Присвоение докладу профессора какого-то одного из всех возможных порядковых номеров для выступления. В жеребьевке участвует 15+15+20=50 человек. Таким образом, доклад профессора М. может получить один из 50 номеров. Значит, и элементарных исходов всего 50.

А какие исходы благоприятные? – Те, при которых окажется, что профессор будет выступать в третий день. То есть, последние 20 номеров.

По формуле вероятность P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4

Жеребьевка здесь представляет собой установление случайного соответствия между людьми и упорядоченными местами. В примере 2 установление соответствия рассматривалось с точки зрения того, какое из мест мог бы занять конкретный человек. Можно к той же ситуации подходить с другой стороны: кто из людей с какой вероятностью мог бы попасть на конкретное место (прототипы 282855, 282858, 285924, 285928):

Пример 3. В жеребьевке участвуют 5 немцев, 8 французов и 3 эстонца. Какова вероятность того, что первым (/вторым/седьмым/последним – не важно) будет выступать француз.

Количество элементарных исходов – количество всех возможных людей, которые могли бы по жеребьевке попасть на данное место. 5+8+3=16 человек.

Благоприятные исходы – французы. 8 человек.

Искомая вероятность: 8/16=1/2=0,5

Немного отличается прототип 285925. Остались задачи про монеты (282854) и игральные кости (285853), несколько более творческие. Решение этих задач можно посмотреть на страницах прототипов.

Приведем несколько примеров на бросание монеты или кубика.

Пример 4. Когда подбрасываем монету, какова вероятность выпадения решки?

Исходов 2 – орел или решка. (считается, что монета никогда не падает на ребро) Благоприятный исход – решка, 1.

Пример 5. А если подбрасываем монету два раза? Какова вероятность того, что оба раза выпадет орел?

Главное определить, какие элементарные исходы будем рассматривать при подбрасывании двух монет. После подбрасывания двух монет может получиться один из следующих результатов:

1) PP – оба раза выпала решка

2) PO – первый раз решка, второй раз орел

3) OP – первый раз орел, второй раз решка

4) OO – оба раза выпал орел

Других вариантов нет. Значит, элементарных исходов 4. Благоприятный из них только первый, 1.

Какова вероятность того, что из двух подбрасываний монеты один раз выпадет решка?

Количество элементарных исходов то же, 4. Благоприятные исходы – второй и третий, 2.

Вероятность выпадения одной решки: 2/4=0,5

В таких задачах может пригодиться ещё одна формула.

Если при одном бросании монеты возможных вариантов результата у нас 2, то для двух бросаний результатов будет 2·2=2 2 =4 (как в примере 5), для трех бросаний 2·29middot;2=2 3 =8, для четырех: 2·29middot;29middot;2=2 4 =16, … для N бросаний возможных результатов будет 2·29middot;. ·2=2 N .

Так, можно найти вероятность выпадения 5 решек из 5 бросаний монеты.

Общее число элементарных исходов: 2 5 =32.

Благоприятных исходов: 1. (РРРРР – все 5 раз решка)

То же верно и для игральной кости. При одном бросании возможных результатов здесь 6. Значит, для двух бросаний: 6·6=36, для трех 6·69middot;6=216, и т. д.

Пример 6. Бросаем игральную кость. Какова вероятность, что выпадет четное число?

Всего исходов: 6, по числу граней.

Благоприятных: 3 исхода. (2, 4, 6)

Пример 7. Бросаем две игральные кости. Какова вероятность, что в сумме выпадет 10? (округлить до сотых)

Для одного кубика 6 возможных исходов. Значит, для двух, по вышеупомянутому правилу, 6·6=36.

Какие исходы будут благоприятными для того, чтоб в сумме выпало 10?

10 надо разложить на сумму двух чисел от 1 до 6. Это можно сделать двумя способами: 10=6+4 и 10=5+5. Значит, для кубиков возможны варианты:

(6 на первом и 4 на втором)

(4 на первом и 6 на втором)

(5 на первом и 5 на втором)

Итого, 3 варианта. Искомая вероятность: 3/36=1/12=0,08

Другие типы задач B6 будут рассмотрены в одной из следующих статей «Как решать».

Внимание, только СЕГОДНЯ! Загрузка...

amvtrade.ru

теория и примеры решения задач

Формула полной вероятности позволяет найти вероятность события A, которое может наступить только с каждым из n исключающих друг друга событий , образующих полную систему, если известны их вероятности , а условные вероятности события A относительно каждого из событий системы равны .

События также называются гипотезами, они являются исключающими друг друга. Поэтому в литературе можно также встретить их обозначение не буквой B, а буквой H (hypothesis).

Для решения задач с такими условиями необходимо рассмотреть 3, 4, 5 или в общем случае n возможностей наступления события A - с каждым событий .

По теоремам сложения и умножения вероятностей получаем сумму произведений вероятности каждого из событий системы на условную вероятность события A относительно каждого из событий системы. То есть, вероятность события A может быть вычислена по формуле

или в общем виде

,

которая и называется формулой полной вероятности.

Пример 1. Имеются три одинаковых на вид урны: в первой 2 белых шара и 3 чёрных, во второй - 4 белых и один чёрный, в третьей - три белых шара. Некто подходит наугад к одной из урн и вынимает из неё один шар. Пользуясь формулой полной вероятности, найти вероятность того, что этот шар будет белым.

Решение. Событие A - появление белого шара. Выдвигаем три гипотезы:

- выбрана первая урна;

- выбрана вторая урна;

- выбрана третья урна.

Вероятности этих гипотез (событий):

.

Условные вероятности события A относительно каждой из гипотез:

, , .

Применяем формулу полной вероятности, в результате - требуемая вероятность:

.

Пример 2. На первом заводе из каждых 100 лампочек производится в среднем 90 стандартных, на втором - 95, на третьем - 85, а продукция этих заводов составляет соответственно 50%, 30% и 20% всех электролампочек, поставляемых в магазины некоторого района. Найти вероятность приобретения стандартной электролампочки.

Решение. Обозначим вероятность приобретения стандартной электролампочки через A, а события, заключающиеся в том, что приобретённая лампочка изготовлена соответственно на первом, втором и третьем заводах, через . По условию известны вероятности этих событий: , , и условные вероятности события A относительно каждого из них: , , . Это вероятности приобретения стандартной лампочки при условии её изготовления соответственно на первом, втором, третьем заводах.

Событие A наступит, если произойдут или событие K - лампочка изготовлена на первом заводе и стандартна, или событие L - лампочка изготовлена на втором заводе и стандартна, или событие M - лампочка изготовлена на третьем заводе и стандартна. Других возможностей наступления события A нет. Следовательно, событие A является суммой событий K, L и M, которые являются несовместимыми. Применяя теорему сложения вероятностей, представим вероятность события A в виде

а по теореме умножения вероятностей получим

то есть, частный случай формулы полной вероятности.

Подставив в левую часть формулы значения вероятностей, получаем вероятность события A:

Пример 3. Производится посадка самолёта на аэродром. Если позволяет погода, лётчик сажает самолёт, пользуясь, помимо приборов, ещё и визуальным наблюдением. В этом случае вероятность благополучной посадки равна . Если аэродром затянут низкой облачностью, то лётчик сажает самолёт, ориентируясь только по приборам. В этом случае вероятность благополучной посадки равна ; . Приборы, обеспечивающие слепую посадку, имеют надёжность (вероятность безотказной работы) P. При наличии низкой облачности и отказавших приборах слепой посадки вероятность благополучной посадки равна ; . Статистика показывает, что в k% случаев посадки аэродром затянут низкой облачностью. Найти полную вероятность события A - благополучной посадки самолёта.

Решение. Гипотезы:

- низкой облачности нет;

- низкая облачность есть.

Вероятности этих гипотез (событий):

;

.

Условная вероятность .

Условную вероятность снова найдём по формуле полной вероятности с гипотезами

- приборы слепой посадки действуют;

- приборы слепой посадки отказали.

Вероятности этих гипотез:

;

.

По формуле полной вероятности

.

Отсюда

.

Пример 5. По объекту производится три одиночных (независимых) выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,4, при втором 0,5, при третьем 0,7. Для вывода объекта из строя заведомо достаточно трёх попаданий. При двух попаданиях он выходит из строя с вероятностью 0,6, при одном - с вероятностью 0,2. Найти вероятность того, что в результате трёх выстрелов объект будет выведен из строя.

Решение. Обозначаем вероятность вывода объекта из строя через A.

Гипотезы:

- в объект попал один снаряд;

- в объект попали два снаряда;

- в объект попали три снаряда.

Находим вероятность гипотез. Событие представим в виде суммы трёх несовместных вариантов:

= {первый выстрел попал, второй и третий не попали}+ {второй выстрел попал, первый и третий не попали}+{третий выстрел попал, второй и первый не попали}.

Применяем правила сложения и умножения вероятностей:

Аналогично

.

Условные вероятности события A при этих гипотезах равны

;

;

.

По формуле полной вероятности находим:

function-x.ru

Как рассчитать вероятность?

Итак, поговорим на тему, которая интересует очень многих. В данной статье я вам отвечу на вопрос о том, как рассчитать вероятность события. Приведу формулы для такого расчета и несколько примеров, чтобы было понятнее, как это делается.

Что такое вероятность

Начнем с того, что вероятность того, что то или иное событие произойдет – некая доля уверенности в конечном наступлении какого-то результата. Для этого расчета разработана формула полной вероятности, позволяющая определить, наступит интересующее вас  событие или нет, через, так называемые, условные вероятности.  Эта формула выглядит так: Р = n/m, буквы могут меняться, но на саму суть это никак не влияет.

Примеры вероятности

На простейшем примере разберем эту формулу и применим ее. Допустим, у вас есть некое событие (Р), пусть это будет бросок игральной кости, то есть равносторонний кубик. И нам требуется подсчитать, какова вероятность выпадения на нем 2 очков. Для этого нужно число положительных событий (n), в нашем случае – выпадение 2 очков, на общее число событий (m). Выпадение 2 очков может быть только в одном случае, если на кубике будет по 2 очка, так как по другому, сумма будет больше, из этого следует, что n = 1. Далее подсчитываем число выпадения любых других цифр на кости, на 1 кости – это 1, 2, 3, 4, 5 и 6, следовательно, благоприятных случаев 6, то есть m = 6. Теперь по формуле делаем нехитрое вычисление Р = 1/6 и получаем, что выпадение на кости 2 очков равно 1/6, то есть вероятность события очень мала.

Еще рассмотрим пример на цветных шарах, которые лежат в коробке: 50 белых, 40 черных и 30 зеленых. Нужно определить какова вероятность вытащить шар зеленого цвета. И так, так как шаров этого цвета 30, то есть, положительных событий может быть только 30 (n = 30), число всех событий 120, m = 120 (по общему количеству всех шаров), по формуле рассчитываем, что вытащить зеленый шар вероятность равна будет Р = 30/120 = 0,25, то есть 25 % из 100. Таким же образом, можно вычислить и вероятность вытащить шар другого цвета (черного она будет 33%, белого 42%).

elhow.ru

Формулы для вычисления вероятности событий

1.3.1. Последовательность независимых испытаний (схема Бернулли)

Предположим, что некоторый эксперимент можно проводить неоднократно при одних и тех же условиях. Пусть этот опыт производится n раз, т. е. проводится последовательность из n испытаний.

Определение. Последовательность n испытаний называют взаимно независимой, если любое событие, связанное с данным испытанием, не зависит от любых событий, относящихся к остальным испытаниям.

Допустим, что некоторое событие A может произойти с вероятностью p в результате одного испытания или не произойти с вероятностью q=1-p.

Определение. Последовательность из n испытаний образует схему Бернулли, если выполняются следующие условия:

  1. последовательность n испытаний взаимно независима,

2) вероятность события A не изменяется от испытания к испытанию и не зависит от результата в других испытаниях.

Событие A называют “ успехом” испытания, а противоположное событие - “неудачей”. Рассмотрим событие

={ в n испытаниях произошло ровно m “успехов”}.

Для вычисления вероятности этого события справедлива формула Бернулли

p() = , m = 1, 2, …, n , (1.6)

где - число сочетаний из n элементов по m :

= =.

Пример 1.16. Три раза подбрасывают кубик. Найти:

а) вероятность того, что 6 очков выпадет два раза;

б) вероятность того, что число шестерок не появится более двух раз.

Решение. “Успехом” испытания будем считать выпадение на кубике грани с изображением 6 очков.

а) Общее число испытаний – n =3, число “успехов” – m = 2. Вероятность “успеха” - p=, а вероятность “неудачи” - q= 1 - =. Тогда по формуле Бернулли вероятность того, что результате трехразового бросания кубика два раза выпадет сторона с шестью очками, будет равна

.

б) Обозначим через А событие, которое заключается в том, что грань с числом очков 6 появится не более двух раз. Тогда событие можно представить в виде суммы трех несовместных событий А= ,

где В30 – событие, когда интересующая грань ни разу не появится,

В31 - событие, когда интересующая грань появится один раз,

В32 - событие, когда интересующая грань появится два раза.

По формуле Бернулли (1.6) найдем

p(А) = р () = p()=++=

=.

1.3.2. Условная вероятность события

Условная вероятность отражает влияние одного события на вероятность другого. Изменение условий, в которых проводится эксперимент, также влияет

на вероятность появления интересующего события.

Определение. Пусть A и B – некоторые события, и вероятность p(B)>0.

Условной вероятностью события A при условии, что “событие B уже произошло” называется отношение вероятности произведения данных событий к вероятности события, которое произошло раньше, чем событие, вероятность которого требуется найти. Условная вероятность обозначается как p(AB). Тогда по определению

p (A  B) = . (1.7)

Пример 1.17. Подбрасывают два кубика. Пространство элементарных событий состоит из упорядоченных пар чисел

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6).

В примере 1.16 было установлено, что событие A ={число очков на первом кубике > 4} и событие C ={сумма очков равна 8} зависимы. Составим отношение

.

Это отношение можно интерпретировать следующим образом. Допустим, что о результате первого бросания известно, что число очков на первом кубике > 4. Отсюда следует, что бросание второго кубика может привести к одному из 12 исходов, составляющих событие A:

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) .

При этом событию C могут соответствовать только два из них (5,3) (6,2). В этом случае вероятность события C будет равна . Таким образом, информация о наступлении событияA оказала влияние на вероятность события C.

      1. Вероятность произведения событий

Теорема умножения

Вероятность произведения событий A1 A2 An определяется формулой

p(A1 A2 An) = p(A1) p(A2  A1))p(An  A1A2An-1). (1.8)

Для произведения двух событий отсюда следует, что

p(AB) = p(A B) p{B) = p(B A) p{A). (1.9)

Пример 1.18. В партии из 25 изделий 5 изделий бракованных. Последовательно наугад выбирают 3 изделия. Определить вероятность того, что все выбранные изделия бракованные.

Решение. Обозначим события:

A1 = {первое изделие бракованное},

A2 = {второе изделие бракованное},

A3 = {третье изделие бракованное},

A = {все изделия бракованные}.

Событие А есть произведение трех событий A = A1 A2 A3 .

Из теоремы умножения (1.6) получим

p(A) = р( A1 A2 A3 ) =p(A1) p(A2  A1))p(A3  A1A2).

Классическое определение вероятности позволяет найти p(A1) – это отношение числа бракованных изделий к общему количеству изделий:

p(A1)=;

p(A2) – это отношение числа бракованных изделий, оставшихся после изъятия одного, к общему числу оставшихся изделий:

p(A2  A1))=;

p(A3 ) – это отношение числа бракованных изделий, оставшихся после изъятия двух бракованных, к общему числу оставшихся изделий:

p(A3  A1A2)=.

Тогда вероятность события A будет равна

p(A) ==.

studfiles.net