Базис системы векторов. Разложение вектора по базису. Аффинные координаты. Как доказать что вектора образуют базис


Базис системы векторов. Аффинные координаты

Определение 3. Векторное пространство называется n-мерным, если в нём существует в точности n линейно независимых векторов.

Базисом  n-мерного пространства называется любая система из n независимых векторов этого пространства.

Пример 1.  Доказать, что векторы

образуют базис в четырёхмерном пространстве.

Решение. Система векторов образует базис, если: 1) количество векторов равно размерности пространства; 2) эти векторы линейно независимы. Первое требование выполнено, остаётся доказать, что эти векторы линейно независимы. Попытаемся составить из них линейную нулевую комбинацию:

Подставим в это равенство вместо данных векторов их выражения в координатах и преобразуем левую часть:

или

 

Но вектор является нулевым, когда все его проекции равны нулю, т.е.

Таким образом, из данных векторов невозможно составить нулевую линейную комбинацию, у которой хотя бы один коэффициент был отличен от нуля. Поэтому векторы

линейно независимы и, следовательно, образуют базис в четырёхмерном пространстве.

Аналогичным образом определяется разложение вектора по базису на плоскости: базис образуется двумя векторами, а координат разложенного по базису вектора также две.

Основное значение базиса состоит в том, что линейные операции над векторами при задании базиса становятся обычными линейными операциями над числами - координатами этих векторов.

Пример 2 Разложить вектор

по базису где

Решение. Рассматриваемые векторы принадлежат двумерному пространству: базис в этом пространстве должен состоять из двух векторов. В примере 7 установлено, что векторы

и

линейно независимы и, следовательно, образуют базис. Запишем разложение вектора по этому базису:

Чтобы найти значения и , подставим в это разложение выражения векторов , и через координаты:

Выполнив преобразования в правой части равенства, получим

или

Равенство векторов означает равенство их соответствующих координат, т.е.

откуда

Следовательно, разложение вектора по базису , имеет вид

Замечание. В каждом векторном пространстве существует бесконечное множество различных базисов и в различных базисах один и тот же вектор имеет различные разложения (подобно тому, как точка имеет различные координаты в различных системах коорднат).

Аффинные координаты в пространстве определяются заданием базиса , , и некоторой точки O, называемой началом координат.

Аффинными координатами любой точки M называются координаты вектора (относительно базиса , , .)

Поделиться с друзьями

Начало темы "Векторы"

Продолжение темы "Векторы"

function-x.ru

Даны вектора абс докажите что два вектора а и б образуют базис и найдите координаты вектора с в этом базисе - Контрольная Работа РУ

Вычислим определитель матрицы перехода, составленной из координат векторов a, b

Воспользуемся калькулятором по нахождению определителя матрицы онлайн

 

Вычисляем последовательно определитель det( A )

|5 -4| | | |1 3 |

= 5*3 - (-4)*1

Значит, после выполнения простейших арифметических операций (сложение и умножения чисел) в последних определителях, и подстановке их значений в определители выше,

= 19

Так как определитель матрицы перехода не равен нулю, то ранг этой матрицы равен двум и из теоремы о базисном миноре следует, что векторы a, b линейно независимы и могут быть приняты в качестве базиса пространства.

Пусть с1, с2 - координаты вектора с в базисе a, b, тогда, согласно теореме о разложении вектора по базису в пространстве, имеем

с = с1*a + с2*b = с1*(5, 1) + с2*(-4, 3) = (-2, 7)

Имеем систему уравнений

5 c1 - 4 c2 = -2 c1 + 3 c2 = 7

решим её методом Крамера онлайн

5*c1 - 4*c2 = -2 c1 + 3*c2 = 7 Приведём систему ур-ний к каноническому виду -4*c2 + 5*c1 = -2 c1 + 3*c2 = 7 Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде [5*x1 - 4*x2] = [-2] [ ] [ ] [ x1 + 3*x2 ] [7 ] - это есть система уравнений, имеющая форму A*x = B Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так: Т.к. определитель матрицы: A = det/[5 -4]\ = 19 |[ ]| \[1 3 ]/ , то Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A. ( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B ) det/[-2 -4]\ |[ ]| \[7 3 ]/ 22 x1 = ------------- = -- 19 19 det/[5 -2]\ |[ ]| \[1 7 ]/ 37 x2 = ------------ = -- 19 19

Значит, координаты вектора c в новом базисе a, b:

c = (22/19, 37/19)

www.kontrolnaya-rabota.ru

Как доказать, что вектора образуют базис | DasBook.Ru

Как доказать, что вектора образуют базис

Базисом в n-мерном пространстве называется такая система из n векторов, когда все остальные векторы пространства можно представить в виде комбинации векторов, входящих в базис. В трехмерном пространстве в любой базис входят три вектора. Но не любые три образуют базис, поэтому и существует задача проверки системы векторов на возможность построения из них базиса.

Вам понадобится

— умение вычислять определитель матрицы

Статьи по теме «Как доказать, что вектора образуют базис»Как найти базисКак найти базис системы векторовКак найти координаты вектора в базисе

Инструкция

1 Пусть в линейном n-мерном пространстве существует система векторов e1, е2, е3, … , еn. Их координаты: e1 = (e11; e21; e31; … ; en1), е2 = (е12; е22; е32; … ; еn2), … , еn = (e1n; e2n; e3n; … ; enn). Чтобы узнать, образуют ли они базис в этом пространстве, составьте матрицу со столбцами e1, е2, е3, … , еn. Найдите ее определитель и сравните его с нулем. Если определитель матрицы из этих векторов не равен нулю, то такие векторы образуют базис в данном n-мерном линейном пространстве.

2

Например, пусть даны три вектора в трехмерном пространстве a1, a2 и a3. Их координаты: а1 = (3; 1; 4), а2 = (-4; 2; 3) и а3 = (2; -1; -2). Надо выяснить, образуют ли эти вектора базис в трехмерном пространстве. Составьте матрицу из векторов, как показано на рисунке.

3

Вычислите определитель получившейся матрицы. На рисунке показан простой способ вычисления определителя матрицы 3 на 3. Элементы, соединенные линией, следует перемножить. При этом произведения, обозначенные красной линией входят в общую сумму со знаком «+», а соединенные синей линией — со знаком «-«.det A = 3*2*(-2) + 1*2*3 + 4*(-4)*(-1) — 2*2*4 — 1*(-4)*(-2) — 3*3*(-1) = -12 + 6 + 16 — 16 — 8 + 9 = -5-5?0, следовательно, а1, а2 и а3 образуют базис.

dasbook.ru